Actuellement, un certain inconfort règne vis-à-vis du Modèle Standard. Cela est dû à plusieurs difficultés conceptuelles. Un modèle des particules élémentaires consistant devrait être en mesure de fournir toute l'information concernant ces particules. Or, le modèle s'attend à ce qu'on lui fournisse plusieurs paramètres expérimentalement tels que la masse des quarks et leurs mélanges. Le modèle ne peut donc pas prédire pourquoi les quarks ont les masses observées ni pourquoi ils ont les probabilités de désintégration mesurées. A fin de soutenir un modèle qui a eu tant de succès, nous proposons de minimiser le nombre de paramètres libres qui l'encombrent. Pour cela, nous développons une nouvelle approche géométrique.

Le problème du mélange des quarks réside intrinsèquement dans la matrice de mélange, dite de Kobayashi-Maskawa. Cette matrice est le résultat de la rotation des matrices de masses de la base électrofaible à la base physique. Les modules carrés des éléments de la matrice de mélange donnent les probabilités de désintégration des quarks du secteur up (up, charm, top) en quarks du secteur down (down, strange, bottom). Tout ce qui est connu de cette matrice a priori est qu'elle est unitaire. L'unitarité de cette matrice apporte des contraintes sur les valeurs des modules carrés de la matrice de sorte à ce que seuls quatre d'entre eux soient indépendants.

Plusieurs paramétrisations de la matrice de mélange sont possibles. Une d'entre elle consiste à réécrire les quatre modules carrés indépendants en termes de quatre traces impliquant les produits de matrices de masses. Quatre traces distinctes sont ainsi nécessaires pour paramétriser la matrice de mélange. En retour, chaque mélange pourra être exprimé en terme de quatre traces distinctes.

La première étape de notre démarche est de réaliser que l'ensemble des matrices hermitiennes engendre un espace vectoriel réel. Cet espace vectoriel peut ensuite être muni d'un produit scalaire. La deuxième étape est de constater que l'opérateur trace est un produit scalaire pour notre espace vectoriel. Ayant un produit scalaire, la norme des matrices hermitiennes peut être déterminée. De toutes les propriétés de la norme, nous portons une attention particulière à l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

Chacun des mélanges pouvant être exprimé en fonction de quatre traces, nous traduisons le problème géométriquement, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwartz et réexprimons chaque mélange en termes de quatre angles. Étant donné la grande disproportion des masses des quarks de la troisième génération avec celle des deux premières générations, nous arrivons à une conclusion géométrique radicale. Les matrices M_u et M_u² ainsi que M_d et M_d² sont approximativement parallèles. Cette approximation étant très bonne, les angles entre les matrices de masses doivent être tous égaux. Un seul paramètre libre subsiste alors dans la matrice de mélange. Si nous voulons rendre l'approximation plus forte, il est possible de se restreindre au seul parallélisme de M_u et M_u² . La matrice de mélange maintient alors deux paramètres libres.

Nous développons ensuite plusieurs équations d'utilité découlant simplement des propriétés géométriques de notre espace vectoriel. Nous envisageons ensuite le cas où les matrices de masse du MS sont non-hermitiennes. Nos prédictions se trouvent alors maintenues et solidifiées. Puis, nous étudions brièvement un cas simple relié au problème de la masse des quarks. Nous trouvons quatre relations supplémentaires, ce qui réduit d'autant le nombre de masses indépendantes à une échelle d'énergie donnée.

Finalement, nous confrontons nos résultats aux valeurs expérimentales des éléments de la matrice de mélange. Nous montrons qu'il est possible d'écrire la matrice de mélange en fonction d'un seul paramètre "au-delà" du MS et de deux paramètres dans le cadre du MS. Ce qui est frappant est que ces résultats indiquent que l'approximation est très bonne. En effet, l'erreur expérimentale sur les éléments de la matrice de mélange permet un chevauchement des valeurs des angles géométriques. Nous arrivons alors à une réduction efficace du nombre de paramètres libres du MS.

13 juin 2001